Simone
、偏导数定义、计算法及几何意义1、定义由于多元函数的自变量不止一个，因变量与自变量的关系要比一元函数复杂得多。本节，我们以二元函数 为例，考虑二元函数关于其中一个自变量的变化率的问题。若返让敬只有自变量变化，而自变量固定(即看作常量)，这时，就成了一元函数，这个函数对于的导数，就称之为二元函数对于的偏导数。【定义】设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在，而在处有增量时，相应地函数有增量如果极限存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，并记作即 (1)类似地，函数在点处对的偏导数定义为如果函数在区域内每一点处对的偏导数都存在，那未这个偏导数就是的函数，称它为函数对自变量的偏导函数，记作 。类似地，可以定义函数对自变量的偏导函数，并记作由偏导函数概念可知，在点处对的偏导数，其实就是偏导函数在点滑租处的函数值；就是偏导函数在点处的函数值。在不产生混淆的情况下，我们以后把偏导函数也简称为偏导数。2、计算法求的偏导数，并不需要新的方法，因为这里只有一个自变量在变化，另一自变量被看成是固定的，所以仍然漏慎是一元函数的导数。求时，把看作常量，而对求导数；求时，把看作常量，而对求导数。显然，偏导数的概念可推广到三元以上的函数情形。例如，三元函数在点处对的偏导数是如下极限注:偏导数的记号应看作一个整体性的符号(不能看成商的形式)，这与一元函数导数可看作函数微分与自变量微分之商是有区别的。3、几何意义同样，偏导数表示曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率。4、二元函数的偏导数与连续性之间的关系一元函数在某点可导，则函数在该点一定连续；若函数在某点不连续，则函数在该点一定不可导。对于二元函数来说，情况就不同了。二元函数在点处的偏导数、，仅仅是函数沿两个特殊方向( 平行于轴、轴 )的变化率；而函数在点连续，则要求点沿任何方式趋近于点时，函数值趋近于，它反映的是函数在点处的一种“全面”的性态。因此，二元函数在某点偏导数与函数在该点的连续性之间没有联系。
