Simone
试题已知：如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=6,BC=8,AD=14．E为AB上一点,BE=2,点F在BC边上运动,以FE为一边作菱形FEHG,使点H落在AD边上,点G落在梯形ABCD内或其边上．若BF=x,△FCG的面积为y．（1）当x=44时,四边形FEHG为正方形；（2）求y与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）（3）在备用图中分别画出△FCG的面积取得最大值和最小值时相应的图形（不要求尺规作图,不要求写画法）,并求△FCG面积的最大值和最小值；（计算过程可简要书写）（4）△FOG的面积由最大值变到最小值时,点G运动的路线长为12-2312-23．考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；正方形的性质．专题：几何综合题．分析：（1）判茄笑根据直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=6,BC=8,AD=14可直接求出答案；（2）连接FH,作GQ⊥BC于Q,根据菱形FEHG,求证△QGF≌△AEH,可得S△FCG=12×CF×GQ=16-2x,然后即可求得y与x的函数关系式；（3）当点F运动到使菱形FEHG的顶点H与点A重合时,x取得掘含最小值,△FCG的面积最大,利用勾股定理求得BF,可得y=16-2x=16-43,然后即可求得△FCG的面积的最大值；（4）如下图,在题图的基础上,继续作CM⊥AD与M,GK⊥AD于K,由（3）求得的△FCG的面积的最大值和△FCG面积的最小值为3,即可直接得出答案．（1）答：当x=4时,四边形FEHG为正方形；（2）如图,连接FH,作GQ⊥BC于Q,则∠GQF=90°,∠GQF=∠A．∵菱形FEHG,∴GF=EH,EH∥FG,∴∠EHF=∠GFH,∵直角梯形ABCD中,AD∥BC,∴∠AHF=∠HFC,∴∠AHF-∠EHF=∠HFC-∠GFH,即∠AHE=∠GFQ,∴△QGF≌△AEH,∴GQ=EA=AB-BE=4,∵BC=8,BF=x,∴S△FCG=12×CF×GQ=16-2x．∴y与x的函数关系式y=16-2x；（3）①如图,当点F运动到使菱形FEHG的顶点H与点A重合时,x取得最小值,△纳袜FCG的面积最大,画法如下：以E为圆心,EA为半径画弧,交BC边上于点F,平移EA到FG,连接AG,得到四边形FEHG为菱形,此时EF=EA=AB-BE=4,BF=EF2-BE2=42-22=23．y=16-2x=16-43,△FCG的面积的最大值为16-43．②如图,当点F运动到使菱形FEHG的顶点G落在梯形ABCD的CD边上时,x取最大值,△FCG的面积取得最小值,画法如下：在图6中有GQ=4可知．无论点F在BC边上如何运动,点G到BC及AD的距离都不变,分别为4、2,取AE的中点P,（AP=2）,过点P作BC的平行线,交CD与G,作EG的垂直平分线,分别交AD、BC于H、F,顺次连接F、E、H、G得到四边形FEHG,可证的四边形FEHG为菱形．如图,作CM⊥AD与M,GK⊥AD于K,则BP=4,EP=AP=2,∵梯形ABCD中,AB=6,BC=8．AD=14,∴CM=AB=6,DM=AD-AM=6,GK=AP=2,∵DM=CM,∠CMD=90°,∴∠D=45°,∴DK=GK=2,PG=AK=AD-DK=12,与（2）同理可证△KGH≌△BEF,KH=BF,设此时的BF=x,则AH=AD-KH-DK=14-BF-2=12-x,在直角三角形AEH与直角三角形BEF中,由勾股定理得AE2+AH2=EH2,BE2+BF2=EF2,由菱形的性质可知EH=EF,∴AE2+AH2=BE2+BF2,即42+（12-x）2=22+x2,解得x=132,此时y=16-2x=3,∴△FCG面积的最小值为3；（4）答：△FCG面积由最大值变到最小值时,点G运动的路线长为12-23．点评：此题主要考查直角梯形,全等三角形的判定与性质,勾股定理,正方形的性质等知识点的理解和掌握,此题有一定的拔高难度,属于难题．答题：fxx老师
